矩阵的求逆

逆的几何解释

矩阵的逆可以计算变换的反向相反变换,能撤销原变换。向量$\vec{v}$用矩阵M进行变换,再用$M^{-1}$进行变换,则会得到原向量。证明:
$$
(\vec{v}M)M^{-1}=\vec{v}(MM^{-1})=\vec{v}I=\vec{v}
$$

矩阵可逆性

不是所有的矩阵都有逆,其中最简单的判别方法就是:可逆矩阵的行列式不为0

标准伴随矩阵

假设有一可逆矩阵M,则标准伴随矩阵的定义是M的代数余子式矩阵的转置矩阵

例如:

M

计算M的代数余子式矩阵:
代数余子式矩阵

M的标准伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置:

adjM

求逆

则有了标准伴随矩阵,通过除以M的行列式,就能计算矩阵的逆。
$$
M^{-1}=\frac {adjM}{|M|}
$$
则最后的有:

M-1

写在最后

还有很多的方法计算矩阵的逆,比如高斯消元法。很多线性代数的书认为该方法更适合在计算机上实现,这是相对于大矩阵和特殊矩阵来说的。对于低阶矩阵,如转置矩阵等,伴随矩阵能更快一些。

文章目录
  1. 1. 逆的几何解释
  2. 2. 矩阵可逆性
  3. 3. 标准伴随矩阵
  4. 4. 求逆
  5. 5. 写在最后